开拓者、梦想家和架桥人

当地时间2025年3月26日，挪威科学与文学院宣布，将2025年阿贝尔奖授予日本数学家柏原正树，以表彰其在代数分析和表示论领域做出的基础性贡献，特别是发展了D-模理论和发现了晶体基。柏原正树也是第一位获得阿贝尔奖的日本数学家。

1980年代，柏原正树和法国数学家合作，建立了层的微局部理论。图为柏原正树在法国做学术交流时的情形。（资料图）

数学界的诺贝尔奖

阿贝尔奖和菲尔兹奖，同为数学界最具重量级的奖项。这两个奖项，也经常被称作“数学界的诺贝尔奖”。但是，相较于四年颁发一次，获奖者仅限四十岁以下的青年数学家，而且奖金仅有15000加拿大元，约合人民币不到八万元的菲尔兹奖，阿贝尔奖在形制上，更加接近于“正版”的诺贝尔奖。

阿贝尔奖以挪威数学家尼尔斯·阿贝尔（Niels Abel）的名字命名，旨在奖励那些做出具有卓越深度与重要性的工作的数学家。自2003年起，阿贝尔奖每年颁发一次，由挪威政府主办，挪威科学与文学院任命的五人委员会负责筛选提名和决定得奖者。阿贝尔奖不设年龄限制，每年颁发给一位或者几位研究领域相近的数学家。设立之初，阿贝尔奖的奖金为600万挪威克朗，约合人民币430万元。2019年开始，阿贝尔奖的奖金增加到750万挪威克朗，约合人民币538万元。跟诺贝尔奖一样，阿贝尔奖只授予在世者，如果得奖者在宣布获奖后离世，则会获追授。

可以发现，阿贝尔奖在各个层面上，都与诺贝尔奖的形式极为接近。实际上，阿贝尔奖设立的初衷之一，就是为了弥补诺贝尔奖没有数学奖的缺憾。

1895年11月27日，在巴黎的瑞典-挪威俱乐部，阿尔弗雷德·诺贝尔签署了个人的第三份，也是最后一份遗嘱。在这份遗嘱中，诺贝尔授意将自己的遗产设立一个基金会，并将基金会每年的收益用来奖励那些在物理、化学、生理及医学、文学以及和平领域“为人类带来最大福祉”的杰出人士。

这一奖项就是后来的诺贝尔奖。

首届诺贝尔奖于1901年颁发。在首届诺贝尔奖颁发前的1899年，得知诺贝尔遗嘱中设立的奖项不包含数学奖之后，挪威数学家索菲斯·李（Sophus Lie）提出倡议，在1902年，阿贝尔诞辰100周年之际，设立以阿贝尔命名的数学奖项，阿贝尔奖。当时的瑞典与挪威国王奥斯卡二世表示愿意为这一奖项提供资金支持。

但是，索菲斯·李于1899年2月18日因病离世。阿贝尔奖的第一次创立也就失去了最大的倡导者。随后，1905年，瑞典-挪威联盟解散。阿贝尔奖的第一次设立也就此宣告失败。

进入新千年之后，阿贝尔奖的设立开始重新被提上日程。2001年8月，挪威政府宣布，将于2002年，阿贝尔诞辰200周年开始，颁发阿贝尔奖。

2002年，1950年菲尔兹奖和1986年沃尔夫数学奖得主，挪威数学家阿特勒·塞尔伯格（Atle Selberg）荣获了阿贝尔荣誉奖。而首个正式的阿贝尔奖，则在2003年，由法国数学家让-皮埃尔·塞尔（Jean-Pierre Serre）获得。在获得首个阿贝尔奖之前，塞尔还曾获得过1954年的菲尔兹奖和2000年的沃尔夫数学奖。

在塞尔伯格的阿贝尔荣誉奖之外，塞尔和俄裔美国数学家格里戈里·马尔古利斯（Grigory Margulis）也是仅有的两位，包揽菲尔兹奖、阿贝尔奖与沃尔夫数学奖这三项数学大奖的数学家。

代数分析与表示论

2025年荣获阿贝尔奖的柏原正树，是自2003年阿贝尔奖正式设立以来的第28位获奖者。柏原正树的研究领域为代数分析与表示论。

代数分析是由柏原正树的导师佐藤干夫于1960年代初开创的研究领域。这一研究领域使用范畴、层论等代数学的工具和方法，以及复分析，去研究线性偏微分方程组等分析学中的课题。

1970年，23岁的柏原正树在自己的硕士论文中提出了D-模的概念。

在数学上，模是域上的线性空间这一概念的推广。柏原正树提出的D-模，则是一种定义在微分算子环上的模。D-模中的“D”，指的就是微分算子（differential operator）。D-模赋予了微分算子环一个新的代数结构，进而使得可以用层论等来自于代数几何的思想和技巧来研究微分算子，以及微分算子所对应的偏微分方程组。

1970年代，围绕D-模这一概念，柏原正树建立起一整套理论和工具。这正是柏原正树数学研究的起点。柏原正树的许多工作，也正是基于这套理论和工具所完成的。

1976年，借助D-模，柏原正树在博士论文中证明了，伯恩斯坦-佐藤多项式的所有零点均为非负有理数。这里的伯恩斯坦-佐藤多项式，也被叫做b-函数，是由以色列数学家约瑟夫·伯恩斯坦（Joseph Bernstein）和佐藤干夫于1971年各自提出的一个用于研究微分算子的多项式函数。

1984年，柏原正树将黎曼-希尔伯特对应推广到了正规完全D-模上。

黎曼-希尔伯特对应是希尔伯特第21问题的推广。希尔伯特第21问题是希尔伯特在1900年巴黎国际数学家大会上提出的“希尔伯特23问题”中的第21个。这个问题涉及两个概念：单值群和富克斯型线性微分方程组。单值群描述的是线性微分方程组的解“绕过”复平面上的奇点时的行为。而富克斯型线性微分方程组，是由德国数学家拉扎勒斯·富克斯（Lazarus Fuchs）提出的。它指的是方程组的解的所有奇点均为正则奇点的线性偏微分方程组。也就是说，富克斯型线性微分方程组的解，在奇点处有着比较好的数学性质。

希尔伯特第21问题就是在问，对于任意一个给定的单值群，是否都存在一个富克斯型线性偏微分方程组，使得这个方程组的解在奇点处的行为，刚好就是给定的单值群所描述的行为。

这个问题，最早由德国数学家伯恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann）进行过研究。正因为此，希尔伯特第21问题也被称作黎曼-希尔伯特问题。

希尔伯特第21问题，给出了单值群和复平面上的线性偏微分方程组的解之间的一个对应关系。在后续的研究中，数学家们将这种对应关系推广到了更加一般和抽象的情况下。这些推广后的命题，就被称作黎曼-希尔伯特对应。

1980年代，柏原正树和法国数学家皮埃尔·沙皮拉（Pierre Schapira）合作，建立了层的微局部理论。通过微支集，层的微局部理论将微局部分析的概念和方法推广到了层上，并且将流形上的偏微分方程组与余切从上的几何联系了起来。

柏原正树的另外一个重要研究领域是表示论。

表示论这一数学分支，将抽象的代数结构中的元素“表示”为向量空间上的线性变换，并通过研究其上的模来研究代数结构的性质。

柏原正树在表示论领域做了相当多的工作。其中最为重要的工作之一，就是证明了卡日丹-卢斯蒂格猜想。

1978年，在研究外尔群的斯普林格表示时，以色列数学家大卫·卡日丹（David Kazhdan）和罗马尼亚裔美国数学家乔治·卢斯蒂格（George Lusztig）提出了卡日丹-卢斯蒂格多项式。这一多项式刻画了表示的自然基和典则基之间的关系。

进一步地，在1979年，卡日丹和卢斯蒂格提出了卡日丹-卢斯蒂格猜想。这一猜想指出，卡日丹-卢斯蒂格多项式在q=1时的值，给出了不可约模的特征标分解为维尔玛模的特征标的线性组合的系数。

1981年，柏原正树和亚历山大·贝林森（Alexander Beilinson），以及法国数学家让-吕克·布雷林斯基（Jean-Luc Brylinski）和伯恩斯坦，各自独立地证明了特征0的卡日丹-卢斯蒂格猜想。

在他们的证明当中，旗流形上的D-模起到了桥梁的作用，建立了最高权模与相交上同调群之间的联系。这是表示论当中里程碑式的工作，彻底改变了表示论这一数学分支的面貌。

除此之外，在表示论领域，柏原正树的工作还包括对于孤子方程的研究，以及证明了实半单李群对应的D-模是正则全纯的等等。

正如伯明翰大学的大卫·克雷文（David Craven）所说：“他（柏原正树）的研究成果遍及表示论领域的各个方面。如果你想从事几何表示论的研究，就无法绕开柏原——他的影响简直无处不在。”

不同领域的架桥人

在五十余年的数学工作中，柏原正树的合作者超过了七十位。对此，柏原正树在接受阿贝尔奖的采访时说道：“合作有很多种形式。在一次合作中，有人提出了一个问题，而我知道答案。所以，我们合写了一篇论文。而在另一种情况下，有人有一个好问题，但他不知道如何解决。他知道我有解决这个问题的有效工具。或者，在某些合作中，我花了很长时间研究一个课题。我想借此机会感谢我所有的合作者！”

通过合作，柏原正树与许多数学家之间建立了联系。与此同时，柏原正树的工作，也在多个数学领域之间建立起了联系的桥梁。

由柏原正树的导师开创的代数分析将代数与分析联系了起来。柏原正树所引入的D-模又将代数分析与几何联系了起来。柏原正树对黎曼-希尔伯特对应的推广又将层上的拓扑纳入了联系当中。

在表示论领域，柏原正树同样建立了不同数学概念之间的深刻联系，并由此改变了整个领域的面貌。

除此之外，在1990年，柏原正树还和卢斯蒂格各自独立地引入了晶体基的概念。

1980年代，受数学物理中可解晶格模型和量子可积系统研究的启发，乌克兰数学家，1990年菲尔兹奖得主弗拉基米尔·德林费尔德（Vladimir Drinfeld）与日本数学家神保道夫各自独立提出了量子群的概念。

柏原正树和卢斯蒂格所定义的晶体基，是关于量子群的表示的一组典则基。晶体基有着很好的性质。通过晶体基，可以使用一些组合和几何的工具和方法来研究量子群的表示。而晶体基也成为了沟通表示论、几何、组合和数学物理的一个桥梁。

这也正是柏原正树的数学工作的一个特点。正如柏原正树自己所说的：“我（对数学）强烈的兴趣来自于我的教授佐藤干夫先生。我非常感激他。佐藤先生是代数分析的创始人。当我开始学习数学时，我和他以及我的合作者河合隆裕一起致力于构建代数分析。我从佐藤教授那里学到的最重要的事情，就是创造新事物。在遇到他之前，我以为数学早已定型，我没有什么可以补充的了。但他告诉我，事实并非如此。我们可以增添和创造新的东西。”

而这也正是柏原正树在接受阿贝尔奖采访时对年轻的数学专业的学生的寄语：“创造新事物真的很重要。请去创造新事物，即使它非常微小。”

南方周末特约撰稿 左力

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